Key: Giới hạn của dãy số
Nhằm hỗ trợ các bạn học sinh trong quá trình tổng hợp lý thuyết và thực hiện các bài tập về giới hạn của dãy số, bài viết dưới đây sẽ gửi đến các thông tin chi tiết về các kiến thức quan trọng cũng như hướng dẫn thực hiện bài tập cho bạn.
Ôn tập toán 11 – Giới hạn của dãy số
Trước khi thực hiện các bài tập về giới hạn của dãy số thì đầu tiên chúng ta cần hệ thống lại các kiến thức quan trọng liên quan. Dưới đây là những lý thuyết và công thức, kiến thức quan trọng cần nhớ được tóm tắt về bài học trên mà chúng tôi muốn dành cho bạn.
1 – Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Ta nói một dãy số (un) bất kỳ sẽ có giới hạn là 0 khi n dần tiến về tới dương vô cực. Trong điều kiện giá trị |un| có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi. Và định nghĩa này được ký hiệu như sau:
- Bên cạnh đó, ta cũng có thể nói một dãy số (vn) bất kỳ sẽ có giới hạn là a (hay dần tới a) trong điều kiện n → +∞ nếu
Và định nghĩa này cũng có ký hiệu riêng được thể hiện như sau:
2 – Định lý về giới hạn hữu hạn
- Về giới hạn hữu hạn thì ta có 2 định lý với định lý 1 là nếu lim un = a và lim vn = b thì ta sẽ có những công thức liên quan như sau:
- Ở định lý thứ 2 thì ta cần đáp ứng đồng thời 2 điều kiện để suy ra được công thức sau đây:
3 – Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Một cấp số nhân vô hạn (thường được viết là un) có phần công bội q với |q| < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Và phần tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được thể hiện qua công thức dưới đây:
4 – Giới hạn vô cực
- Ta nói một dãy số bất kỳ (un) sẽ có giới hạn là +∞ khi n tiến đến +∞. Trong điều kiện (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Và định nghĩa này được thể hiện qua công thức sau đây:
- Bên cạnh đó thì dãy số (un) sẽ có giới hạn là –∞ khi n tiến tới +∞ trong điều kiện lim (–un) = +∞. Định nghĩa này được thể hiện thông qua công thức dưới đây:
5 – Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
Về mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực được thể hiện qua 3 định lý sau đây:
6 – Một số các công thức về các giới hạn đặc biệt cần nhớ
Ngoài ra, để giúp quá trình làm bài tập của bạn trở nên nhanh và hiệu quả hơn. Thì bạn cũng nên nhớ một số các công thức về các công thức giới hạn của dãy số lớp 11 đặc biệt sau đây:
Một số công thức về giới hạn của dãy số cần nhớ.
Bài tập giới hạn của dãy số
Nhằm giúp bạn có thể hiểu hơn về lý thuyết của bài học trên cũng như biết cách vận dụng chúng vào thực tế, bài viết sẽ hướng dẫn bạn thực hiện chi tiết các bài tập về giới hạn của dãy số dưới đây.
1 – Bài 1 trang 121 Sgk
Nội dung: Có 1kg chất phóng xạ độc hại và cứ sau một khoảng thời gian 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã. Giả sử un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n. Hãy thực hiện các yêu cầu sau đây:
a. Hãy tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) đã cho.
b. Hãy chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0. Và từ kết quả đã tính ra ở trên thì hãy chứng tỏ sau bao nhiêu năm thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người. Cho biết khối lượng chất phóng xạ còn lại không độc hại khi bé hơn 10-6 g.
Cách giải: Ở câu a thì ta tính dãy số sau từng năm bán rã để cho ra một công thức tổng quát và dùng để tính cho chu ký thứ n. Còn với câu b thì ta sử dụng công thức lim un khi n tiến đến âm vô cùng là được. Sau đó, dựa vào kết quả trên ta thế số để tính giá trị của n thì có thể suy ra được số năm.
2 – Bài 2 trang 121 Sgk
Nội dung: Cho dãy số (un) sau thỏa mãn với mọi n bất kỳ hãy chứng minh lim un = 1.
Cách giải: Đầu tiên ta cần gọi un-1 bằng vn sau đó lấy 1 số dương d lớn hơn 0 tùy ý rồi xét sự thỏa mãi. Sau đó, sử dụng các công thức đã học để áp dụng và suy ra điều cần chứng minh. Bạn có thể tham khảo cách giải chi tiết bài toán này sau đây:
Các bài tập liên quan thường gặp.
3 – Bài 3 trang 121 Sgk
Nội dung: Cho các giới hạn sau đây và tìm giới hạn của dãy số tương ứng.
Cách giải: Ở bài tập này thì chủ yếu ta áp dụng các công thức được tổng hợp ở trên. Ngoài ra cũng cần lưu ý về các công thức về các trường hợp đặc biệt của dãy số. Bạn có thể tham khảo các giải chi tiết của các bài toán trên sau đây:
4 – Bài 4 trang 122 sgk
Nội dung: Để trang hoàng cho căn hộ của mình một chú chuột đã quyết định tô màu một miếng dán hình vuông với cạnh bằng 1. Và chú chuột đã tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, Sao cho cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu này diễn ra vô hạn với un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Hãy tính theo các yêu cầu dưới đây:
- Hãy dùng các công thức đã học để tính u1, u2, u3 và un.
- Hãy tính lim Sn biết rằng Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un.
Cách giải: Đầu tiên ta cần gọi độ dài của cạnh hình vuông là a và ta có cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Nghĩa là diện tích chúng bằng 1/4 diện tích của hình vuông trước đó. Sau đó ta thế số là tính được diện tích hình vuông đầu tiên. Tiếp theo áp dụng các công thức cụ thể được hướng dẫn chi tiết dưới đây.
5 – Bài 5 trang 122 sgk
Nội dung: Hãy tính tổng của dãy số đã cho dưới đây:
Cách giải: Ở bài này thì ta cần nhớ công thức cấp số nhân (un) có công bội q với |q| < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó, tổng của chúng được tính bằng công thức: . Bạn có thể tham khảo các giải chi tiết bài toán này dưới đây:
Một số bài tập liên quan khác.
Kết luận
Giới hạn của dãy số có khá nhiều nội dung và công thức quan trọng mà bạn cần lưu ý và chúng đã được hệ thống ở phần trên. Bên cạnh đó, để có thể hiểu cũng như vận dụng tốt các công thức này thì việc đầu tiên bạn cần làm là thực hiện các bài tập liên quan. Ngoài ra, bạn có thể thực hiện thêm các bài tập nâng cao khác để tăng thêm khả năng tư duy, logic của mình với bài học vừa rồi.
Trên đây là các thông tin kiến thức tổng quan về giới hạn của dãy số cũng như hướng dẫn chi tiết hỗ trợ bạn thực hiện các bài tập liên quan. Hy vọng những thông tin hữu ích trên có thể giúp ích cho bạn trong quá trình hệ thống các kiến thức liên quan và vận dụng được tốt nhất vào bài tập của mình.